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Il gioco delle tre porte

Il famoso gioco, diventato anche uno show televisivo americano, spiegato con le regole della probabilità condizionata

Forse non tutti lo sanno ma negli anni Sessanta, in America, veniva mandato in onda un programma a premi di grande successo: Let’s make a deal. Si tratta della versione televisiva del gioco delle tre porte che fu in grado di scatenare una discussione pubblica sull’analisi probabilistica del gioco, spingendo addirittura noti accademici a penosi ravvedimenti.

In questo gioco al partecipante si chiede di scegliere fra tre porte chiuse, una sola delle quali è vincente. Dietro ad una si trova un’automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Una volta effettuata la scelta, il conduttore apre una delle porte rimanenti, che sa essere perdente, e mostra al giocatore una capra. Il dilemma, ora, è se al giocatore conviene o meno cambiare la sua precedente scelta.

Il teorema di Bayes e la probabilità condizionata

La risposta a questa domanda riguarda il concetto di probabilità condizionata. Nel 1763 il pastore presbiteriano Thomas Bayes mostrò con una semplice formula come calcolare la probabilità che un certo evento si verifichi sapendo che un altro evento, correlato al primo, è avvenuto. In pratica il teorema di Bayes ci insegna a non trascurare le correlazioni tra diversi elementi a nostra disposizione, in modo da dedurne conclusioni e previsioni il più possibile realistici.

Il risultato di un sondaggio politico, ad esempio, risulterebbe distorto se oltre a considerare le risposte del nostro campione, non venissero pesate correttamente anche la probabilità di avere una certa provenienza geografica, reddito, età e così via. Analogamente non possiamo dire che un test clinico sia veramente utile se non lo correliamo con l’effettiva incidenza della malattia sulla popolazione. E questi sono solo alcuni esempi del ruolo decisivo che il teorema di Bayes ha nella nostra vita anche a nostra insaputa.

Conviene cambiare scelta della porta?

Tornando al gioco delle tre porte, per il teorema di Bayes la risposta è sì, conviene cambiare scelta. Può non sembrare intuitivo, ma scegliere un’altra porta migliora le chance del giocatore di vincere l’automobile, portandole da 1/3 a 2/3. Qualsiasi cosa ci sia dietro la scelta iniziale del giocatore, egli ha il 66,7% di probabilità di vincita se cambia la porta, mentre solo il 33,3% nel caso contrario.

© IL QUOTIDIANO ONLINE 2022 RIPRODUZIONE RISERVATA

di Marianna Fusco

Una mente scientifica e un'anima letteraria, affascinata da qualsiasi cosa abbia una storia da raccontare. Curerà la rubrica “Reticoli di Idee”

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